Limites & Continuité

Visualisez la définition formelle de la limite (ε–δ), les limites infinies, les discontinuités et le théorème des valeurs intermédiaires.

f(x) =

Exemples :

Point d'observation a : 1.0

ε (marge en y) : 0.50

δ (marge en x) : 0.50

Trouver un δ qui convient :

Limite gauche

—

Limite droite

—

Limite (si existe)

—

f(a)

—

Continuité

—

Définition formelle de la limite en un point

Soit $f$ définie au voisinage de $a$ (sauf éventuellement en $a$). On dit que $f$ tend vers $L$ quand $x$ tend vers $a$, et on note $\lim_{x \to a} f(x) = L$, si :

$$ \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\quad 0 < |x-a| < \delta \ \Longrightarrow\ |f(x) - L| < \varepsilon. $$

Autrement dit : aussi petite que soit la marge $\varepsilon$ imposée en ordonnée, on peut trouver une marge $\delta$ en abscisse telle que, dès que $x$ est à moins de $\delta$ de $a$ (sans être égal à $a$), $f(x)$ reste à moins de $\varepsilon$ de $L$.

Limites infinies

On note $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ lorsque :

$$ \forall M > 0,\ \exists \delta > 0,\quad 0 < |x-a| < \delta \ \Longrightarrow\ f(x) > M. $$

(Définition analogue avec $f(x) < M$ pour $-\infty$.)

Continuité en $a$

La fonction $f$ est continue en $a$ si :

$f(a)$ est définie
$\lim_{x \to a} f(x)$ existe et est finie
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$.