Séries de Fourier

Reconstruisez différents signaux périodiques (carré, triangle, dent de scie) par sommes de Fourier. Ajustez le nombre d'harmoniques $N$ pour observer la convergence, l'addition des harmoniques et l'amplitude maximale.

Nombre d'harmoniques $N$ : 5

Harmoniques $N$

Type de signal

Carré

Amplitude max

1.27

Rappel théorique

La série de Fourier d'une fonction $f$ de période $2\pi$ s'écrit :

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right]$$

avec les coefficients :

$$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx, \qquad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$$

Formules utilisées

Signal carré (impair, harmoniques paires nulles) :

$$f(x) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin\big((2k+1)x\big)}{2k+1}$$

Signal triangle (impair) :

$$f(x) = \frac{8}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin\big((2k+1)x\big)$$

Signal en dent de scie (impair) :

$$f(x) = \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\sin(kx)$$

En augmentant le nombre d'harmoniques $N$, l'approximation se rapproche de la fonction cible — mais le phénomène de Gibbs (survol aux discontinuités) persiste.