Transformations du Plan

Rappel th?orique

Toute transformation lin?aire de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ est repr?sent?e par une matrice $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$.

Rotation d'angle $\theta$ : $M = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$, $\det(M) = 1$.

Homoth?tie de rapport $k$ : $M = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$, $\det(M) = k^2$.

Cisaillement horizontal de facteur $s$ : $M = \begin{pmatrix} 1 & s \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\det(M) = 1$.

Sym?trie par rapport ? l'axe faisant un angle $\theta/2$ avec l'axe $(Ox)$ : $M = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix}$, $\det(M) = -1$.

Le d?terminant $\det(M)$ est le facteur d'?chelle des aires : l'aire de l'image est $|\det(M)|$ fois l'aire de l'image initiale.